Matematyka dla wszystkich

ff ff


MENU GŁÓWNE Strona główna O autorze MATEMATYKA Podstawowe wiadomości: Historia matematyki Historia w Polsce Wzory Twierdzenia Definicje Wybitni matematycy polscy Wybitni matematycy zagraniczni Podstawowe działy matematyki Wybrane zagadnienia matematyczne: Indukcja matematyczna Równanie i nierówność kwadratowa Funkcja wykładnicza Funkcja logarytmiczna Badanie przebiegu zmienności funkcji Rachunek prawdopodobieństwa ROZRYWKA Aktualności ze świata nauki Ciekawe strony Zadania i zagadki Wydawnictwa Ciekawe informacje Gry logiczne	UBEZPIECZENIA PRZEZ INTERNET Ubezpieczenia to jedna z dziedzin mojej aktywności, w której matematyka i logiczne myślenie na pewno się przydają. Jako agent ubezpieczeniowy polecam Wam ubezpieczenia direct, czyli ubezpieczenia przez internet. Jeśli potrzebujesz ubezpieczyć: - samochód (OC, AC, NNW) - mieszkanie, dom lub ruchomości domowe - wyjazd turystyczny wejdź na moją stronę: UBEZPIECZENIA i wykup polisę nie wychodząc z domu. Składkę zapłacisz przelewem lub kartą. Ubezpieczenia direct to przyszłość ubezpieczeń! Nie trać czasu na chodzenie po agencjach, a poza tym są to ubezpieczenia najtańsze. Powodzenia! Wzory matematyczne SPIS TREŚCI (liczby w nawiasach - numery odpowiednich wzorów) Prawa de Morgana (1 - 2) Prawa de Morgana dla zdań z kwantyfikatorami (3 - 4) Prawo transpozycji (5) Prawa działań (6 - 26) Działania na potęgach (27 - 36) Potęga o wykładniku całkowitym (37 - 38) Potęga o wykładniku wymiernym (39 - 41) Własności logarytmów (42 - 48) Funkcja liniowa (49 - 51) Funkcja kwadratowa (52 - 56) Funkcja wielomianowa (57) Funkcja wymierna (58 - 60) Funkcja wykładnicza (61) Funkcja logarytmiczna (62) Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta (63 - 74) Wzory redukcyjne (75 - 82) Ogólna postać wzoru redukcyjnego (83) Wartość funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów (84 - 103) Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych (104 - 115) Równania i nierówności (116 - 120) Ciągi arytmetyczne i geometryczne (121 - 126) Pochodna funkcji (127 - 142) Twierdzenie Pitagorasa (143) Pola figur (144 - 150) Obwód okręgu (151) Twierdzenie sinusów (152) Twierdzenie cosinusów (153) Kanoniczne równanie okręgu (154) Ogólne równanie prostej (155) Przesunięcie równoległe o wektor (156) Symetria osiowa względem osi X (157) Symetria osiowa względem osi Y (158) Jednokładność względem początku ukłądu współrzędnych (159) Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych (160) Obrót o dowolny kąt dokoła początku układu współrzędnych (161) Objętość i pola powierzchni brył (162 - 173) Symbol Newtona (174 - 176) Silnia (177) Permutacja (178) Kombinacja (179) Wariacja bez powtórzeń (180) Wariacja z powtórzeniami (181) Prawa de Morgana ~ (p q) ~p ~q ~ (p q) ~p ~q Prawa de Morgana dla zdań z kwantyfikatorami ~( p(x)) ~p(x) ~( p(x)) ~p(x) Prawo transpozycji 5) (p q) (~q ~p) Prawa działań a, b, c R a + b = b + a a * b = b * a (a + b) + c = a + (b + c) (a * b) * c = a * (b * c) (a + b) * c = a * c + b * c a + 0 = 0 + a = a a * 1 = 1 * a = a a * 0 = 0 * a = 0 a = b b = a a < b a - b < 0 a > b a - b > 0 (a = b) a + c = b + c (a = b) a - c = b - c (a = b) a * c = b * c [(a = b) c 0] a/c = b/c a < b a + c < b + c a < b a - c < b - c [(a < b) c > 0] ac < bc [(a < b) c < 0] ac > bc [(a < b) c > 0] a/c < b/c [(a < b) c < 0] ac > bc Działania na potęgach a, b R m, n R aⁿ * a^m = a^n+m aⁿ : a^m = a^n-m (aⁿ)^m = a^nm aⁿ bⁿ = (ab)ⁿ aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ ⁿab = ⁿa * ⁿb ⁿa/b = ⁿa / ⁿb dla b0 ^mⁿa = ^nma (ⁿa)^m = ⁿa^m. ⁿ(aⁿb) = ⁿaⁿ ⁿb = a * ⁿb Potęga o wykładniku całkowitym a⁰ = 1 dla a0 a^-m = 1/am dla a0, mC Potęga o wykładniku wymiernym a^1/n = ⁿa a0, nN₊-{1} a^m/n = (a^1/n)^m a>0, nN₊-{1}, mC 0^m/n = 0 nN₊, mC-{1} Własności logarytmów aR₊-{1} b,c R₊ log_a1 = 0 log_aa = 1 log_a(bc) = log_ab + log_ac log_ab/c = log_ab - log_ac log_ab^c - clog_ab dla cR log_ab = log_cb / log_ca c1 a^log_ab = b Funkcja liniowa* wzór funkcji f(x) = ax + b a, b R miejsce zerowe funkcji x = - b/a równanie kierunkowe prostej y = ax + b Funkcja kwadratowa wzór funkcji f(x) = ax² + bx + c a, b, c R kanoniczna postać funkcji f(x) = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a wyróżnik funkcji kwadratowej = b² - 4ac równanie paraboli y = ax² + bx + c miejsca zerowe funkcji x₁= (-b-)/2a x₂=(-b+)/2a Funkcja wielomianowa f(x) = W(x) W - wielomian jednej zmiennej wzór funkcji f(x) = W₁(x) / W₂(x) W₁, W₂ - wielomiany wzór funkcji wzór funkcji homograficznej h(x) = (bx + c)/(x-a) b, c nie są jednocześnie równe 0 wzór funkcji potęgowej f(x) = ax a, - liczby rzeczywiste różne od 0 Funkcja wykładnicza wzór funkcji f(x) = a^x gdzie aR₊-{1} Funkcja logarytmiczna wzór funkcji f(x) = log_ax gdzie aR₊-{1} Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta - kąt, P(x,y) - dowolny punkt na końcowym ramieniu kąta , r - odległość punktu P od początku układu współrzędnych r = (x² + y²) sin = x / r cos = y / r tg = y / x dla x0 ctg = x / y dla y0 sin² + cos² = 1 (jedynka trygonometryczna) sin / cos = tg dla /2+k cos / sin = ctg dla k sin (-) = - sin cos (-) = cos tg (-) = - tg ctg (-) = - ctg Wzory redukcyjne sin (/2+) = cos cos (/2+) = - sin tg (/2+) = - ctg ctg (/2+) = - tg sin (+) = - sin cos (+) = - cos tg (+) = tg ctg (+) = ctg Ogólna postać wzoru redukcyjnego f(k/2) = g() gdzie f,g oznaczają funkcje trygonometryczne, k{1,2,3,4}, <0, /2> a) jeśli k=2 lub 4, to f,g są funkcjami o tej samej nazwie, je�li k=1 lub 3, to nazwa funkcji f zmienia się na nazwę kofunkcji , b) liczbę g() poprzedzamy znakiem + lub - w zależności od tego, czy liczba f(k/2) jest dodatnia czy ujemna. Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów sin 0^o = 0 cos 0^o = 1 tg 0^o = 0 ctg 0^o nie istnieje sin 30^o = 1/2 cos 30^o = 3 /2 tg 30^o = 3 /3 ctg 30^o = 3 sin 45^o = 2 /2 cos 45^o = 2 /2 tg 45^o = 1 ctg 45^o = 1 sin 60^o = 3 /2 cos 60^o = 1/2 tg 60^o = 3 ctg 60^o = 3 /3 sin 90^o = 1 cos 90^o = 0 tg 90^o nie istnieje ctg 90^o = 0 Sume i różnice funkcji trygonometrycznych sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y sin 2x = 2sin x cos x cos 2x = cos²x - sin²x tg 2x = 2tg x / (1-tg²x) dla xp/4+k/2 i x/2+m, k,mC ctg 2x = (ctg²x-1) / 2ctg x dla xk/2, kC sin x + sin y = 2sin (x+y)/2cos (x-y)/2 sin x - sin y = 2cos (x+y)/2sin (x-y)/2 cos x + cos y = 2cos (x+y)/2cos (x-y)/2 cos x - cos y = -2sin (x+y)/2sin (x-y)/2 Równania i nierówności równanie liniowe pierwszego stopnia ax + b = cx + d rozwišzanie równania liniowego1-go st. x= (d - b) / (a -c) dla ac równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0 dla a0 rozwišzania równania kwadratowego x₁ = (-b+) /2a x₂ = (-b-) 2a wzory Viete'a x₁ + x₂ = - b/a >br> x₁ * x₂ = c/a Ciągi arytmetyczne i geometryczne a_n = a₁ + (n-1)r gdzie r - różnica ciągu arytmetycznego (a_n) a_n = (a_n+1 + a_n-1) / 2 a_n - wyrazy ciągu arytmetycznego S_n = (a₁ + a_n)n / 2 = [2a₁ + (n-1)r]n / 2 gdzie S_n - suma n wyrazów ciągu arytmetycznego a_n = a₁q^n-1 gdzie q - iloraz ciągu geometrycznego (a_n) (a_n+1)² = a_na_n+2 a_n - wyrazy ciągu geometrycznego S_n = a₁(1-qⁿ) / (1-q) dla q 1 S_n = na₁ dla q = 1 gdzie S_n - suma n wyrazów ciągu geometrycznego Pochodna funkcji* [cf(x)]' = cf'(x) [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x)-f(x)g'(x)] / [g(x)²] (c)' = 0, c - ustalona liczba rzeczywista (xa)' = ax^a-1, aR (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (tg x)' = 1/cos²x (ctg x)' = - 1/sin²x h'(x) = g'[f(x)]f'(x) gdzie funkcja h jest złożeniem funkcji f i g (e^x)' = e^x (a^x)' = a^xln a aR₊-{1} (ln x)' = 1/x (log_ax)' = 1/xln a aR₊-{1} Wzór do twierdzenia Pitagorasa a² + b² = c² gdzie a i b to przyprostokątne w trójkącie prostokątnym, a c - przeciwprostokątna. Pola figur P = a² pole kwadratu gdzie a to długość boku kwadratu P = ab pole prostokąta* gdzie a i b to długości boków prostokąta P = 1/2ah pole trójkąta gdzie a to długość jednego z boków trójkąta, a h długość wysokości opuszczonej na ten bok P = ah pole równoległoboku* gdzie a to długość jednego z boków równoległoboku, a h to długość wysokości opuszczonej na ten bok P = 1/2(a+b)h pole trapezu gdzie a i b to długości podstaw trapezu, a h długość jego wysokości P = 1/2d₁d₂ pole rombu gdzie d₁ i d₂ to długości przekątnych rombu P = r² pole koła gdzie r to długość promienia koła Obwód okręgu C = 2r gdzie r to długość obwodu okręgu Twierdzenie sinusów a/sin = b/sin = c/sin = 2R gdzie a, b, c - długości boków trójkąta, , , - kąty trójkąta, R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie Twierdzenie cosinusów a² = b² + c² - 2bccos gdzie a, b, c - długości boków trójkąta, - kšt zawarty między bokami b, c Kanoniczne równanie okręgu* (x - a)² + (y - b)² = r² gdzie a, b - współrzędne środka okręgu, r - długość promienia Ogólne równanie prostej ax + by + c = 0 Przesunięcie równoległe o wektor x' = x + a y' = y + b gdzie punkt P(x,y) jest punktem przekształcanym, a P'(x',y') jego obrazem, a i b - współrzędne wektora Symetria osiowa względem osi X x' = x y' = - y gdzie punkt P(x,y) jest punktem przekształcanym, a P'(x',y') jego obrazem Symetria osiowa względem osi Y x' = - x y' = y gdzie punkt P(x,y) jest punktem przekształcanym, a P'(x',y') jego obrazem Jednokładność względem początku układu współrzędnych x' = kx y' = ky gdzie punkt P(x,y) jest punktem przekształcanym, a P'(x',y') jego obrazem, k - skala jednokładności Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych x' = - x y' = - y gdzie punkt P(x,y) jest punktem przekształcanym, a P'(x',y') jego obrazem Obrót o dowlolny kąt dokoła początku układu współrzędnych x' = xcos - ysin y' = ycos - xsin Objętości i pola powierzchni brył V = P_pH objętość graniastosłupa* gdzie P_p - pole podstawy graniastosłupa H - wysokość granistosłupa S = 2P_p + S_b pole powierzchni całk. graniastosłupa* gdzie P_p - pole podstawy graniastosłupa S_b - pole pow. bocznej V = 1/3P_pH objętość ostrosłupa gdzie P_p - pole podstawy ostrosłupa H - wysokość ostrosłupa S = P_p + S_b pole powierzchni całk. ostrosłupa gdzie P_p - pole podstawy graniastosłupa S_b - pole pow. bocznej V = r²H objętość walca* gdzie r - promień podstawy walca H - wysokość walca S_b = 2rH pole powierzchni bocznej walca* gdzie r - promień podstawy walca H - wysokość walca S_c = 2r(r + H) pole powierzchni całkowitej walca gdzie r - promień podstawy walca H - wysokość walca V = 1/3r²H objętość stożka gdzie r - promień podstawy stożka H - wysokość stożka S_b = rl pole powierzchni bocznej stożka gdzie r - promień podstawy stożka l - długość tworzącej stożka S_c = r(r + l) pole powierzchni całk. stożka gdzie r - promień podstawy stożka l - długość tworzącej stożka V = 4/3r³ objętość kuli* gdzie r - promień kuli S = 4r² pole powierzchni kuli gdzie r - promień kuli Symbol Newtona = n! / k!(n - k)! = gdy kn + = gdy (k+1)n Silnia n! = 1234....n Wzór na permutację* Pn = n! gdzie n - ilość elementów Wzór na kombinację C_n^k = = n! / k!(n - k)! gdzie n i k - liczby elementów Wzór na wariację bez powtórzeń V_n^k = n! / (n - k)! gdzie n i k - liczby elementów Wzór na wariację z powtórzeniami W_n^k = n^k gdzie n i k - liczby elementów Wstecz .................................................................................................................................................................................................................................	INNE Ustaw stronę jako startową;