UBEZPIECZENIA PRZEZ INTERNET Ubezpieczenia to jedna z dziedzin mojej aktywności, w której matematyka i logiczne myślenie na pewno się przydają.
Jako agent ubezpieczeniowy polecam Wam ubezpieczenia direct, czyli ubezpieczenia przez internet. Jeśli potrzebujesz ubezpieczyć:
- samochód (OC, AC, NNW)
- mieszkanie, dom lub ruchomości domowe
- wyjazd turystyczny
wejdź na moją stronę:
i wykup polisę nie wychodząc z domu. Składkę zapłacisz przelewem lub kartą.
Ubezpieczenia direct to przyszłość ubezpieczeń!
Nie trać czasu na chodzenie po agencjach, a poza tym są to ubezpieczenia najtańsze.
Powodzenia!
Zaprzeczeniem koniunkcji dwóch zdań jest alternatywa zaprzeczeń tych zdań, a zaprzeczeniem alternatywy dwóch zdań jest koniunkcja ich zaprzeczeń.
~(p q) ~p ~q
~(p q) ~p ~q
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe i na odwrót, każde rozwinięcie dziesiętne skończone i każde rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe są rozwinięciami dziesiętnymi liczb wymiernych. Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe i na odwrót.
Jeżeli współczynniki wielomianu anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, gdzie an0, są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe r będące liczbą całkowitą, to r jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Jeśli lim an = a, lim bn = b (przy n dążącym do nieskończoności), to:
lim (an + bn) = a + b (przy n dążącym do nieskończoności)
lim (an - bn) = a - b (przy n dążącym do nieskończoności)
lim (an * bn) = a * b (przy n dążącym do nieskończoności)
lim (an / bn) = a / b, (przy n dążącym do nieskończoności) jeśli b0
tzn. że jeśli dane dwa ciągi są zbieżne, to zbieżny jest również ciąg będący ich sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem (pod warunkiem, że granicą mianownika nie jest 0).
Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny. Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny.
Jeśli dane są ciągi (an), (bn), (cn) spełniające następujące warunki:
a) lim an = lim cn = g (dla n dążącego do nieskończoności),
b) istnieje n0 N+ takie, że dla każdego nn0 spełniona jest nierówność an bn cn,
to ciąg (bn) jest zbieżny i lim bn = g.
Je�li lim f(x) = a, lim g(x) = b (przy x dążącym do x0, to
lim (f(x) + g(x)) = a + b (przy x dążącym do x0 lim (f(x) - g(x)) = a - b (przy x dążącym do x0 lim [f(x) * g(x)] = a * b (przy x dążącym do x0 lim f(x) / g(x) = a/b, (przy x dążącym do x0 gdy b0
Funkcja f ma w punkcie x0 granicę, jeśli istnieją obie granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 i są równe.
Jeśli do obu stron równania (nierówności) dodamy tę samą liczbę lub tę samą funkcję, której dziedzina zawiera dziedzinę równania (nierówności), to otrzymamy równanie (nierówność) równoważne danemu.
Jeśli obie strony równania pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera lub tę samą funkcję, której dziedzina zawiera dziedzinę równania i która nie ma miejsc zerowych, to otrzymamy równanie równoważne danemu.
Jeśli obie strony nierówności pomnożymy przez tę samą liczbę dodatnią lub tę samą funkcję, której dziedzina zawiera dziedzinę nierówności i która, przyjmuje tylko wartości dodatnie, to otrzymamy nierówność równoważną danej.
Jeśli obie strony nierówności pomnożymy przez tę samą liczbę ujemną lub tę samą funkcję, której dziedzina zawiera dziedzinę nierówności i która, przyjmuje tylko wartości ujemne i przy tym zmienimy zwrot nierówności na przeciwny, to otrzymamy nierówność równoważną danej.
Jeśli jedno lub oba równania danego układu zastąpimy równaniami im równoważnymi, to otrzymamy układ równoważny danemu.
Jeśli z jednego równania wyznaczymy jedną z niewiadomych za pomocą drugiej niewiadomej i tak otrzymane wyrażenie wstawimy do drugiego równania w miejsce wyznaczonej niewiadomej, to układ złożony z pierwszego równania i przekształconego drugiego równania będzie równoważny danemu układowi.
Jeżeli obie strony jednego z równań układu pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera, a następnie otrzymane równanie dodamy stronami do drugiego równania, to układ złożony z pierwszego równania (nie przekształconego) i równania otrzymanego w wyniku dodawania stron będzie równoważny danemu układowi.
Układ równań:
a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 jest układem równań:
a) niezależnych a1b2 - a2b1 0
b) zależnych a1b2 - a2b1 = 0 i c1b2 - c2b1 = 0
c) sprzecznych a1b2 - a2b1 = 0 i (c1b2 - c2b10 lub a1c2 - a2c10).
Jeśli (an) jest ciągiem arytmetycznym, to dla każdego nN+ prawdziwy jest wzór: an = a1 + (n-1)r gdzie r oznacza różnicę ciągu (an).
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego, poczynając od wyrazu drugiego, jest średnią arytmetyczną jego dwóch sśsiednich wyrazów, tzn.:
an = (an+1 + an-1) / 2
dla nN+-{1}.
Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) poczynając od wyrazu pierwszego wyraża się wzorem:
Sn = (a1+an)n / 2 = [2a1+(n-1)]n / 2
Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz q spełnia warunek IqI< 1 lub q = 1.
Wówczas:
lim an = 0 gdy IqI< 1 i lim an = a1 gdy q = 1 (dla n dążącego do niepodległości)
Jeżeli iloraz q ciągu geometrycznego (an) spełnia nierówność IqI< 1, to istnieje suma S szeregu geometrycznego (Sn) odpowiadającego ciągowi (an) i S = a1 / (1-q).
Jeżeli funkcje f, g są określone i różniczkowalne w każdym punkcie przedziału (a,b) to w tym przedziale są również różniczkowalne funkcje: cf, gdzie c oznacza ustaloną liczbę rzeczywistą, f+g, f-g, f*g, f/g (pod warunkiem, że g(x)0) i prawdziwe są wzory:
a) [cf(x)]' = c * f'(x)
b) [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
c) [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
d) [f(x) * g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
e) [f(x)/g(x)]' = [f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)2]
Funkcje: stała, potęgowa, trygonometryczne są różniczkowalne w swoich dziedzinach. Pochodne tych funkcji wyrażają się wzorami:
a) (c)' = 0, c - ustalona liczba rzeczywista
b) (xa)' = a*xa-1, aR
c) (sin x)' = cos x
d) (cos x)' = - sin x
e) (tg x)' = 1/cos2x
f) (ctg x)' = - 1/sin2x.
Jeśli funkcja h jest złożeniem funkcji f z funkcją g i funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, natomiast funkcja g jest różniczkowalna w punkcie y=f(x), to funkcja h jest różniczkowalna w punkcie x i h'(x)=g'[f(x)]*f'(x).
Jeśli a>0 i a1, to lim (ax-1)/x = ln a (dla x dążącego do 0).
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna są różniczkowalne w swoich dziedzinach. Prawdziwe są wzory:
a) (ex)'= ex b) (ax)' = axln a, aR+-{1}
c) (ln x)' = 1/x
d) (logax)' = 1/xln a, aR+-{1}
Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) i przy tym jest funkcją rosnącą w tym przedziale, to jej pochodna f' jest, w każdym punkcie przedziału (a,b), nieujemna.
Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) i przy tym jest funkcją malejącą w tym przedziale, to jej pochodna f' jest, w każdym punkcie przedziału (a,b), niedodatnia.
Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b), a jej pochodna f' przyjmuje, w co najwyżej skończonej liczbie punktów przedziału, wartość zero, a we wszystkich pozostałych punktach przedziału jest dodatnia, to funkcja f jest w przedziale (a,b) rosnąca.
Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b), a jej pochodna f' przyjmuje, w co najwyżej skończonej liczbie punktów przedziału, wartość zero, a we wszystkich pozostałych punktach przedziału jest ujemna, to funkcja f jest w przedziale (a,b) malejąca.
Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) i istnieje przedział (a1,b1)(a,b), którego środkiem jest x0 oraz pochodna f' funkcji f spełnia następujące dwa warunki:
a) f'(x0) = 0
b) f'(x)>0 dla każdego x(a1,x0) i f'(x)<0 dla każdego x(x0,b1),
to w punkcie x0 funkcja f osiąga maksimum.
Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) i istnieje przedział (a1,b1)(a,b), którego środkiem jest x0 oraz pochodna f' funkcji f spełnia następujące dwa warunki:
a) f'(x0) = 0
b) f'(x)<0 dla każdego x(a1,x0) i f'(x)>0 dla każdego x(x0,b1),
to w punkcie x0 funkcja f osiąga minimum.
W każdej izometrii obrazem:
a) prostej jest prosta,
b) okręgu jest okrąg,
c) koła jest koło,
d) półpłaszczyzny jest półpłaszczyzna.
Jeśli dwa różne punkty A, B są punktami stałymi izometrii j, to każdy punkt prostej AB jest punktem stałym tej izometrii. Jeśli trzy punkty A, B, C są punktami stałymi izometrii , to jest tożsamościowym przekształceniem płaszczyzny wyznaczonej przez punkty A, B, C.
Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy boki jednego z nich mają tę samą długość co odpowiednie boki drugiego. (bbb)
Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dwa boki i kąt między nimi zawarty w jednym trójkącie mają takie same miary jak odpowiednie dwa boki i kąt między nimi zawarty w drugim trójkącie. (bkb)
Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie mają takie same miary jak odpowiedni bok i dwa kąty do niego przyległe w drugim trójkącie. (kbk)
Rzutem równoległym:
a) środka danego odcinka jest środek rzutu tego odcinka,
b) odcinka równoległego do rzutni jest odcinek przystający do odcinka rzutowanego,
c) dwóch odcinków równoległych i przystających, ale nie równoległyvh do kierunku rzutu, są dwa odcinki przystające.
Rzut równoległy na prostą zachowuje stosunek odcinków równoległych do siebie, ale nierównoległych do kierunku rzutu k.
Jeżeli ramiona kąta przetniemy kilkoma prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.
Jeżeli ramiona kąta przetniemy kilkoma prostymi i odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu, to proste przecinające ramiona kąta są równoległe.
W jednokładności J0,k obrazem:
a) odcinka AB jest taki odcinek A'B', dla którego A'B'=k*AB,
b) prostej jest prosta do niej równoległa,
c) kąta jest kąt do niego przystający.
Dwa trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego. (bbb)
Dwa trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego, a kąty zawarte między proporcjonalnymi bokami mają równe miary. (bkb)
Dwa trójkąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy dwa kąty jednego z nich mają te same miary, co dwa kąty drugiego. (kk)
W trójkącie prostokątnym długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną.
W każdym trójkącie:
a) trzy proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie,
b) środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Pole:
a) trójkąta równa się połowie iloczynu długości jednego z jego boków i długości wysokości opuszczonej na ten bok,
b) równoległoboku równa się iloczynowi długości jednego z jego boków i długości wysokości opuszczonej na ten bok,
c) trapezu równa się połowie iloczynu sumy długości podstaw trapezu przez długość wysokości.
W każdym trójkącie stosunek długości dowolnego boku trójkąta do sinusa kąta przeciwległego temu bokowi jest, dla tego trójkąta, stały i równa się długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.
W każdym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku równa się sumie kwadratów długości pozostałych boków zmniejszonej o iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta między nimi.
Każdemu wektorowi odpowiada dokładnie jedna uporządkowana para liczb rzeczywistych, które są współrzędnymi tego wekora.
Jeśli A=(x1,y1), B=(x2,y2), to:
= [x2 - x1, y2 - y1]
Współrzędne:
a) sumy dwóch wektorów równają się sumom odpowiednich współrzędnych tych wektorów,
b) iloczynu wektora przez liczbę rzeczywistą są równe iloczynom współrzędnych tego wektora przez tę liczbę.
Prosta k jest prostopadła do płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do dwóch różnych prostych zawartych w i przechodzących przez punkt wspólny prostej k i płaszczyzny .
Jeśli prosta l nie jest równoległa ani prostopadła do płaszczyzny , a prosta k jest zawarta w i przechodzi przez punkt, w którym l przebija , to k jest prostopadła do rzutu prostokątnego l na wtedy i tylko wtedy, gdy k jest prostopadła do l.
Jeśli P jest prawdopodobieństwem określonym na podzbiorach przestrzeni , to dla dowolnych zdarzeń A, B prawdziwe są związki:
a) P() = 0,
b) jeśli AB, to P(A) P(B),
c) jeśli A i A' są zdarzeniami przeciwnymi, to P(A') = 1 - P(A),
d) P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB).
Jeśli para (, P) jest probabilistycznym modelem doświadczenia losowego, w którym wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A jest określone wzorem:
P(A) = A" / "
gdzie A", " oznaczają odpowiednio liczebności zbiorów A i .
Jeśli zdarzenia B1, B2 są takimi podzbiorami przestrzeni , że B1B2= i B1B2= i P(B1) > 0 i P(B2) > 0, to dla dowolnego zdarzenia A prawdziwy jest wzór:
P(A) = P(A/B1) * P(B1) + P(A/B2) * P(B2)
Jeśli zdarzenia B1, B2,...,Bn są podzbiorami przestrzeni spełniającymi
warunki:
a) P(Bi) > 0, i = 1, 2, ..., n
b) BiBj = dla ij
c) B1B2...Bn = to dla dowolnego zdarzenia A prawdziwy jest wzór:
q) 
~p 
~q
0, n>m
N+ takie, że dla każdego n
n0 spełniona jest nierówność an 
bn 
, k
(a,b), którego środkiem jest x0 oraz pochodna f' funkcji f spełnia następujące dwa warunki:
, to 
OP.
i 
są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba a
A'B'
= [x2 - x1, y2 - y1]
= 
wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do dwóch różnych prostych zawartych w 
= n! / k!(n - k)!
, to dla dowolnych zdarzeń A, B
) = 0,
B) = P(A) + P(B) - P(A
B).